Un vector es una cantidad cuya descripción requiere conocer su tamaño (módulo) y su posición en un sistema de coordenadas. La descripción vectorial del movimiento de un avión podría decir por ejemplo, viaja a 600 km/h (módulo) sobre Vallenar a 645 km al norte de Santiago en dirección a Santiago Los vectores pueden representarse gráficamente usando flechas. El largo o tamaño de la flecha representa su magnitud (módulo) y el extremo de la flecha su posición en el sistema de coordenadas. Para especificar la dirección y el sentido de un vector hay que usar un sistema de referencia:

Entonces cada vector se describe a partir de sus componentes en los ejes x, y y z del sistema de referencia. Por ejemplo, el vector se puede describir en función de sus componentes xA, yA y zA:

Los vectores se representan con una flecha encima; por ejemplo el vector r se escribe: 

Las coordenadas o componentes de un vector en un sistema de referencia pueden escribirse entre paréntesis, separadas con comas o como combinación de vectores:  = (ax, ay, az)

O pueden representarse como combinación de vectores unitarios (de tamaño uno en cada eje): si llamamos,  a los vectores unitarios (tamaño uno) en los ejes, x, y, y z respectivamente: 

Las cantidades  se llaman componentes del vector.

Según el gráfico, el vector  se puede definir como  =(4,2) o como 

¿Cómo definirías el vector ? 

El módulo o tamaño de un vector se puede calcular de sus componentes. En general, el módulo |r|de un vector  es |r| 

Ejemplo: el módulo del vector  es |a|= = 4,47

¿Cuál es el módulo del vector ?

Los vectores se pueden sumar o restar sumando o restando sus componentes.

Por ejemplo, para los vectores =(4,2) y =(2,3), la suma de += (4,2)+(2,3)=(6,5)

El valor obtenido señala la posición final del vector en el sistema de referencia empleado. También la suma puede hacerse en términos de los vectores unitarios .

Gráficamente, el vector suma es:

La suma de vectores también se puede hacer gráficamente, trasladando uno de los vectores de modo que su comienzo coincida con el término del otro vector:

¿Cuánto sería la resta de –?

El mismo resultado se puede obtener gráficamente invirtiendo el vector  (porque se resta) y traslándolo a la punta del vector .

Multiplicación de un vector  con un escalar x: 

 

¿Cómo explicarías la multiplicación del vector   por 3?

 

Y análogamente, la división de un vector  por un escalar x es 

Un producto de vectores es el producto escalar de vectores o producto punto. En el producto escalar o producto punto, la multiplicación de dos vectores produce un escalar. El valor del escalar es el producto de los módulos de ambos vectores multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos:

, donde  es el ángulo de los vectores.

Nota al pie : 1. Ver funciones trigonométricas más adelante

Ejemplo: producto punto

Por ejemplo, veamos la multiplicación de los vectores 

Como calculamos antes, los módulos de estos vectores son  |a|=4,47 y |b|=3,6 y por lo tanto su producto es 16,1.

El ángulo  formado por los dos vectores se puede calcular a partir de los ángulos formados por cada vector con el eje x (o el eje y, da lo mismo), y luego de la diferencia entre los dos ángulos.

 

Para el ángulo formado por el vector  con el eje x, tenemos: 

Del mismo modo, el 

De los valores de los cosenos se puede calcular los ángulos:  

El ángulo entre los vectores es 56,3 – 26,6 =29,7°

El coseno de 29,7° es 0.87

Por lo tanto, el producto punto entre  y  es:

 (una cantidad no vectorial)