Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que poseen incógnitas. Una ecuación de primer grado es una ecuación donde ambas expresiones tienen la forma , es decir, un número multiplicado por la incógnita más una constante.

Por ejemplo

1. es una ecuación de primer grado, donde la incógnita viene dada por .

2.  es una ecuación, pero no es de primer grado, pues aparece una potencia de la incógnita distinta de la primera.

3.  no es una ecuación, pues no hay una igualdad entre dos expresiones.

El método para poder resolverlas consiste básicamente en dejar a un lado de la igualdad las expresiones que contengan la incógnita y al otro lado las que no hasta despejar la incógnita. Logramos esto mediante operaciones básicas. Por ejemplo, en la primera ecuación

En este caso, decimos que es la solución de la ecuación.

Como técnica, la factorización nos permite simplificar una expresión algebraica. Esta simplificación se logra, como dice el nombre, extrayendo factores comunes a todos los elementos de la expresión en la que queremos operar.

En sus términos más simples, la factorización se basa en la distributividad de la multiplicación con la suma. Por ejemplo 

Notemos que en el último término debimos ocupar que 

Un ejemplo un poco más complejo es factorizar . Podemos juntar los términos con  y los términos con así:

 y factorizar por los términos y : 

Si hacemos eso, notemos que ambos términos tienen un factor común . Factorizando por esto nos queda 

Productos notables

Uno de los usos más importantes de la factorización son los productos notables, que son descomposiciones clásicas que aparecen una y otra vez y, por lo tanto, son muy útiles.

El uso de estos productos notables ayudará considerablemente al estudiante en el desarrollo de los cursos de matemática. En particular, nos ayudará con el siguiente tema, la racionalización.

A veces es conveniente operar sobre una fracción de manera de no tener números irracionales en el denominador. Si bien en el colegio es casi obligatorio, en la universidad será simplemente conveniente. La base de la racionalización es la amplificación de fracciones, en este caso por un factor apropiado. Por esto, es importante manejar los productos notables pues son de gran ayuda. El caso típico es cuando tenemos una raíz simple. En este caso, basta con amplificar por la raíz que complete la potencia entera más cercana. Por ejemplo, para racionalizar , notemos que la exponente de la raíz es ½.

Luego, basta amplificar por porque recordando que ½+ ½ = 1. Otro caso común es cuando en el denominador aparece una suma o diferencia de raíces cuadradas. En tal caso, usaremos la suma por diferencia para eliminar las raíces. Por ejemplo

El procedimiento cuando tenemos una suma de raíces cuadradas en el denominador es enteramente análogo y queda como ejercicio al lector.

Ahora que tenemos el concepto de ecuación y cómo obtener su solución, abordaremos otro tipo de ecuaciones que, sorprendentemente, nos resultarán muy entretenidas. Se llama ecuación de segundo grado a una ecuación cuya estructura algebraica es

en que a, b y c son números reales y reciben el nombre de coeficientes. Además, a no puede ser 0.

Ejemplos:

1. En la ecuación se tiene que .

2. En la ecuación para reconocer sus coeficientes debemos desarrollar el producto, igualarla a cero y ordenarla. Así,

Solución de una ecuación de segundo grado

¿Cómo resolver esta ecuación? Deduzcamos su solución

En el primer miembro de la ecuación hemos forzado el cuadrado de binomio que expresaremos en forma factorizada

Ahora se extrae raíz cuadrada de ambos miembros. En el caso del cuadrado de binomio obtendremos sólo la base y en el segundo miembro tendremos dos posibilidades, característica de la ecuación de segundo grado que comúnmente entregará dos soluciones.

Llamaremos discriminante a la expresión

a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación de segundo grado tiene soluciones reales y distintas.

b) Si el discriminante es cero, entonces la ecuación de segundo grado tiene soluciones reales e iguales.

c) Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación de segundo grado no tiene soluciones reales, si no que sus soluciones son complejas conjugadas.

Sabemos que las soluciones de la ecuación de segundo grado vienen dadas por

Si  sumamos ambas soluciones obtenemos

Análogamente, si se multiplican ambas soluciones se obtiene

Con estas propiedades, si conocemos las raíces, podemos deducir la ecuación que las origina. En particular, si tenemos la ecuación , podemos sacar factor común a en el primer miembro y obtenemos . Como obtuvimos en el párrafo anterior, podemos reemplazar estos coeficientes por

En particular, si , tenemos .

Para todo número real , podemos definir su valor absoluto como

Esta definición puede llamar la atención un poco en su segunda parte — ¿el valor absoluto no debería ser positivo siempre?— pero basta verla un poco para darse cuenta que, si es negativo, es positivo.

Ejemplos:

1.

2. 

3. 

4. Qué valor puede tomar si ? Claramente sólo puede tomar los valores  y .

5. En cambio tiene las soluciones y . El por qué de estas soluciones no debe extrañarnos, pues lo que significa la ecuación es que puede ser positivo o negativo y por lo tanto debemos examinar ambas posibilidades, es decir, o . Al resolver estas dos ecuaciones lineales obtenemos las dos soluciones de arriba.

6. ¿Qué solución tiene la ecuación ? Como , esta ecuación no tiene solución.

Sin hacer enunciados explícitos hemos citado y aplicado algunas propiedades del valor absoluto, de modo sencillo y evitando largos listados. Aun así, siempre debemos tener presente una situación general. no significa solo “valor absoluto de ”. Es válida para toda expresión que esté entre las barras y que lógicamente corresponda a un número real.

Tres propiedades que conviene tener en mente son

La principal diferencia de las ecuaciones con las inecuaciones es que mientras las primeras tratan sobre igualdades las inecuaciones tratan sobre desigualdades, es decir, la relación es ser mayor o menor.

Si bien esta parece una distinción menor, matemáticamente nos lleva a un campo distinto. Primero, no obtendremos un valor como solución, si no un conjunto de valores, un intervalo. Segundo, si bien los métodos son parecidos, las inecuaciones no se resuelven como ecuaciones. Es un error común al enfrentarse a una querer resolverla como una ecuación, pero si no se presta atención es fácil encontrar un conjunto solución que nada tiene que ver con el deseado.

Además, un caso común es tener una desigualdad en que aparezca un valor absoluto. Es necesario ser especialmente cuidadoso para resolver una inecuación de esta clase.

Para resolver una inecuación de este tipo debemos recordar que al multiplicar por un número negativo el signo de la desigualdad se invierte.

Fijémonos que al restar 4 a la inecuación no cambia el signo de la desigualdad. En cambio, al multiplicar por para despejar cambiamos el signo. ¿Cuál es la solución de la inecuación? Todos los números reales que son menores que 1, es decir, el intervalo .

Como vimos en la sección de valor absoluto, siempre debemos considerar dos soluciones, una con el valor positivo y otra con el valor negativo. Sin embargo, en las inecuaciones tenemos que además tener cuidado con las multiplicaciones que hagamos, pues pueden cambiar el signo de la desigualdad. ¡Un lío! Felizmente, podemos salir del embrollo con un par de técnicas y sobre todo manteniendo un cierto orden en nuestros desarrollos.

Supongamos primero que tenemos una inecuación como . Primero, esto significa que

pero si desarrollamos la segunda inecuación, debemos recordar que cambiaremos el signo de la desigualdad

resolviendo ambas inecuaciones obtenemos

¿Qué significa ese par de inecuaciones? Primero, notemos que hay un y en vez de un o. Eso significa que ambas ecuaciones deben cumplirse simultáneamente. Entonces, la solución está dada por todos los valores de que sean menores que 7 y mayores que . Es decir, nuestra solución es el intervalo . Podemos comprobar que esa es la solución tomando valores dentro y fuera de ese intervalo y verificando. Otra opción para obtener el resultado es hacerlo gráficamente. Ya que hemos obtenido que , podemos plantear en la recta qué significan estas ecuaciones.

El conjunto de solución es en donde se intersectan ambas semirrectas y podemos ver que coincide con la solución anterior.