Definición: Sea   es decir, si se tiene una base real y un exponente natural, Entonces

Ejemplos:

Pero sabemos que el universo de los conjuntos numéricos es más amplio, iremos modificando nuestra definición, concretamente aumentaremos el ámbito de acción del exponente y haremos leves restricciones a la base. De esta forma:

Definición: Sea  es decir consideraremos una base en los reales sin considerar el cero y un exponente entero. Claramente, el exponente puede ser positivo, cero o negativo:

En otras palabras cuando el exponente sea positivo mantendremos la primera definición. Si el exponente es cero entonces definimos que esa potencia vale 1 y, si el exponente es negativo entonces la potencia es igual a 1 dividida por esa base elevada a un exponente que tiene el signo contrario al del exponente p. No debe extrañarnos puesto que en este caso p es negativo, por tanto al tomarlo con signo contrario nos queda un número positivo.

Ejemplos:

En la fase siguiente, mantendremos vigente todo lo anterior. ¿Qué modificación haremos ahora? Muy simple, el exponente será un número racional, comúnmente un fracción, pero para la base sólo consideramos números reales positivos. También se podrá analizar otros casos con restricciones no tan severas para la base pero, iremos lentamente.

Definición: Sea  entonces

Efectivamente, una potencia de exponente racional no tiene otra interpretación que la de una raíz. En estricto sentido son lo mismo y se trata sólo de una cambio de notación a pesar que sus formas de ser calculadas son diferentes. En realidad hemos avanzado y estamos en condiciones de efectuar operaciones de mayor relevancia.

Ejemplos:

Los ejemplos 1 y 2 fueron escogidos de modo que se obtuviera un número entero sin embargo rara vez o nunca esto sucede. También el lector habrá observado que pueden ser calculados de más de una forma. Hoy con la calculadora no sólo es fácil hacerlo sin embargo su uso, a veces por ensayo y error, nos limitan ciertos desarrollos deseables e indispensables en nuestra formación. Las formas equivalentes de cálculo implican el conocimiento de propiedades o teoremas de los cuales veremos sus enunciados.

También el lector habrá advertido que en los ejemplos 3 y 4 se omitió una forma equivalente de cálculo. ¿Por qué no se escribió el resultado que nos entrega una calculadora?

Es habitual encontrar 

Desde el punto vista matemático los tres resultados dados son incorrectos. En realidad,  es un número irracional, es decir, tiene infinitas cifras decimales y esas cifras no tienen período. La calculadora lo que nos entrega es una aproximación y, en muchas oportunidades, puede ser una buena decisión si se trata de un problema físico, químico o de otra disciplina.

Cuidando todas las restricciones de las definiciones anteriores, las propiedades principales de las potencias son:

Es fundamental que el estudiante advierta, que en los 4 primeros teoremas tiene producto o división de potencias y, para efectuar cualquiera de estas operaciones debe tener bases iguales o exponentes iguales. Si no se dan estas condiciones entonces la operación no es posible desde el punto de vista algebraico y sólo podrá efectuarse si logramos transformaciones que nos lleven a esa situación. También se debe advertir que potencias y raíces son escrituras equivalentes, por lo tanto no se requiere un listado de propiedades diferentes o dicho de otra manera, por separado. Es lo que se ha hecho con las propiedades 3, 4 y 5 que son completamente análogas o, lo que es más exacto, están expresadas en ambas notaciones. Tal vez llame la atención que no se hizo lo mismo para las propiedades 1 y 2 de potencias. Se omitió intencionalmente para evitar una sobrecarga de escrituras. ¿Cómo enfrentar entonces una operatoria que tenga esos requerimientos?

Las dimensiones de las células también presentan una considerable variabilidad. De forma general, las más pequeñas son las procariotas (entre  y  metros de longitud) mientas que las más grandes son las eucariotas (entre  y metros). La notación científica nos sirve para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas como potencias de base 10. Es una forma de representar un número de manera más compacta . Todo número en notación científica será expresado de la siguiente manera:

donde y n un número entero.

Por ejemplo:

¿Recuerda Ud. lo primero que aprendió en Matemáticas? Posiblemente sus primeros pasos en Matemática fueron contar: 1, 2, 3, 4, …. En base a estos números aprendió operaciones, fue obteniendo “resultados” diferentes según la operación. Una de esas operaciones fue partir una unidad, se trata literalmente de una partición, obtener fracciones de ella. Pero también es posible considerarla una medición. Tomar partes de varias unidades, averiguar cuántas veces está contenida una cantidad en otra. Aparece la división en pleno.

Esta operación, llamada división, podrá ser expresada de varias formas equivalentes.

Ejemplo: 9 : 12 y diremos que su resultado es 0,75

Lógicamente 9 : 12 es lo mismo que  como también son equivalentes 0,75 y . Luego .

Aún más, veremos que esta división o fracción la podemos expresar como 75 % o bien como  . No será tan importante su aspecto como el que realmente nos familiaricemos con ella.

En síntesis, consideraremos que división o fracción son expresiones equivalentes o que denotan la misma operación. Simultáneamente, si queremos comparar dos cantidades homogéneas, saber cuántas veces una está contenida en otra, hablaremos de razón. Así, la razón 9 : 12 la leeremos como “9 es a 12”, e la misma manera  también se leerá como “9 es a 12”.

En general la razón “  ” podrá ser escrita como o  , se denomina antecedente mientras que b recibe el nombre de consecuente.

Conocemos el concepto de razón, es un cuociente entre cantidades homogéneas. ¿Puede haber razones iguales? Sin duda que la respuesta es afirmativa. Denominaremos PROPORCIÓN a la igualdad de dos razones.

Ej.1. El valor de la razón 15 : 5 es 3

El valor de la razón 24 : 8 también es 3

Por lo tanto 15 : 3 = 24 : 8

Notemos que la proporción  también puede ser escrita como 

Los elementos  reciben el nombre de extremos mientras que y se denominan medios.

Propiedad Fundamental de las Proporciones

1. El producto de los medios es igual al producto de los extremos, es decir,

2. Alternar medios 

3. Alternar extremos 

4. Componer una proporción 

5. Descomponer una proporción 

6. Componer y descomponer una proporción 

Ejemplo, en la proporción 

1) Al alternar medios se tiene 

2) Al alternar extremos queda 

3) Al componer se obtiene 

4) Al descomponer se llega a 

5) Y al componer y descomponer 

Conceptos de alta importancia son el de proporcionalidad directa y el de proporcionalidad inversa. Diremos que dos magnitudes   son directamente proporcionales si el cuociente entre ellas es constante.

Es decir en el que es el valor de la constante de proporcionalidad.

En el gráfico:

 

Por ejemplo si (2,3); (4,6); (6,9); y (10,15) son puntos de la recta, al trabajar con sus coordenadas, en todos ellos se cumple que

en este ejemplo la constante k = 1,5

 

 

Diremos que dos magnitudes  son inversamente proporcionales si el producto entre ellas es constante.

Es decir en que  es el valor de la constante de proporcionalidad

Por ejemplo en el gráfico si (1,36); (3,12); (4,9) y (18,2) son puntos de la curva al trabajar con sus coordenadas, en todos ellos se cumple que:
1.36 = 3.12 = 4.9 = 18.2
En este ejemplo el valor de la constante k = 36

 

 

 

Existen situaciones en la que algún problema nos exige encontrar el exponente de una potencia con base positiva si conocemos el valor de la potencia, por ejemplo:

En este caso resolviendo multiplicaciones sucesivas, sabemos que , debido a que .

En este caso se puede resolver de la misma forma que antes, pero nos llevará un poco más de tiempo en saber que  .

Un caso distito sería calcular x para 

El uso de logaritmo nos facilita bastante la situación (además de la ayuda de la calculadora), en este caso:

Entonces estamos preparados para introducir la definición de logaritmo.

Definición: Sea .

Para se define, .

Es decir el valor del logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base de una potencian para que se obtenga como resultado el valor de la potencia. En la definición de logaritmo, llamaremos base del logaritmo y argumento del logaritmo.

Conservando las restricciones de la definición, obtenemos las siguientes propiedades de logaritmo.