Una función es, en términos simples, una relación entre dos cantidades. La función “toma” valores en un conjunto y “entrega” valores en otro. Llamaremos a estos valores variables. A partir del primer valor, la función decide qué valor debe entregar. Es por esto que calificaremos a las variables como independiente y dependiente. La variable independiente es la que es tomada por la función: su valor es independiente de la función. La variable dependiente es calculada por la función a partir de la variable independiente: su valor depende de la función.

Por ejemplo, la función tiene por variable independiente  y en este caso la variable dependiente puede ser llamada . Vemos claramente que, para calcular la variable dependiente, debemos multiplicar la variable independiente por 3.

Las variables independiente y dependiente no pueden vivir en el aire si no que tienen que pertenecer a un conjunto. Llamaremos al conjunto al que pertenece la variable independiente dominio y el conjunto al que pertenece la variable dependiente, recorrido.

Durante el curso, estudiaremos funciones reales, es decir, funciones cuyo recorrido esté contenido en los reales. Para ser más concreto, estudiaremos funciones reales de variable real, es decir, funciones reales cuyo dominio es un subconjunto de los reales.

¿Cómo podemos saber cuál es el dominio y recorrido de una función? Hay algunas funciones que tienen un dominio claramente visible, por ejemplo . En términos coloquiales, a ningún número le molesta que le sumen 1. Como otro ejemplo, consideremos . De nuevo coloquialmente, ningún número tiene problemas con que lo eleven al cuadrado: con todos resulta. Si tenemos una situación así, el dominio de la función que estamos analizando es el conjunto de números reales. El dominio de muchas funciones que usaremos durante el año son los números reales.

En cambio, ¿qué dominio tiene la función ? A primera vista, anda todo bien. Podemos calcular qué pasa evaluando en distintos números, por ejemplo  , etc. Sin embargo, esto no nos dice mucho respecto a si falla. Acá necesitamos hacer algo distinto: recordar que en el colegio aprendimos que no podemos dividir por 0. Es decir, el denominador no puede ser 0. ¿Quién es el denominador en esta fracción? . Por lo tanto nuestro dominio son todos los números que no son 0, lo que podemos escribir como .

En general, para encontrar el dominio de una función necesitaremos recordar propiedades algebraicas de ésta. Si consideramos la función , necesitamos recordar que las raíces de índice par no saben operar con números negativos, pero si nuestra función es , necesitamos saber distinguir que las raíces de índice impar no tienen problema con ningún número real (p. ej., ).

Una condición que tiene que cumplir una relación cualquiera para ser función es que para cada valor de la variable independiente sólo puede haber un valor asociado de la variable dependiente. Por ejemplo, no puede ocurrir que  y con la misma función .

Para encontrar el recorrido hay varios métodos. Uno que jamás falla es conocer propiedades de la función. Veremos entre las características de los tipos más comunes de funciones cómo encontrar su dominio.

Una manera que, si bien no es siempre usable, suele ser útil es reemplazar la definición de la función por una ecuación, como , si se puede, despejar . Al hacer esto estamos creando una nueva función, que podemos llamar . Si encontramos el dominio de esta nueva función, ese dominio corresponderá al recorrido de la función .

Una de las virtudes de las funciones reales es que disponemos de un modo muy práctico de visualizarlas: los gráficos. Todos conocemos la idea, disponemos los ejes de las variables en forma perpendicular y luego marcamos el punto .

Hay un punto para tener en cuenta: es muy común en el colegio hacer tablas para algunas funciones y graficarlas de esta manera. Durante el semestre dejaremos de lado esta manera de graficar para concentrarnos en propiedades analíticas. Examinaremos algunas de estas propiedades cuando revisemos algunos de los tipos más comunes de funciones.

Función lineal

Una función lineal es una función de la forma . Recordemos que es la misma forma que aparece en la ecuaciones lineales. Esta vez, sin embargo, la miraremos desde un punto de vista más gráfico.

Muchas veces habremos visto que el gráfico de una función de este tipo es una recta. Efectivamente, al escribirla en forma principal los coeficientes nos describen aspectos del gráfico.

Por ejemplo, en el siguiente gráfico podemos ver qué significa cada coeficiente de la función . El coeficiente nos muestra el valor por el que la función cruza el eje . Un nombre común es coeficiente de posición, pero lo llamaremos también habitualmente intercepto.

El coeficiente , por otra parte, lo conocemos como pendiente. La pendiente expresa que tan “levantada” sube (o baja, si es negativa) la recta. Mientras mayor su valor, más rápido cambia. Podemos interpretar la pendiente como la cantidad que sube una recta al avanzar una unidad en el eje . Notemos que el dominio y el recorrido de cualquier función lineal serán todos los reales.

Función cuadrática

La función cuadrática es otro tipo de función muy útil. Su forma general es . Como probablemente recordemos, su gráfico describe una parábola. Sin embargo, a diferencia de la función lineal, no será tan fácil asignar un significado a cada uno de los coeficientes.

Un elemento a considerar es la dirección de la parábola. Si el coeficiente  es positivo, entonces la parábola se abrirá hacia arriba; también podemos decir que tiene sus ramas hacia arriba, es cóncava hacia arriba, etc. Una consecuencia de este hecho es que, necesariamente, esta parábola alcanzará un mínimo.

En cambio, cuando el coeficiente  es negativo, tendremos una parábola que se abre hacia abajo o es cóncava hacia abajo. Esta parábola, por ende, tendrá un máximo.

El coeficiente , en tanto, jugará un poco el papel de coeficiente de posición y nos dirá en qué valor corta la parábola al eje .

El coeficiente  juega un papel más sutil. Junto con el coeficiente  nos contará el valor de  en que la función alcanza su máximo o mínimo. Este valor viene dado por:

mientras que el valor extremo de la función viene dado por

Finalmente, como vimos antes, las soluciones de la ecuación , con una función cuadrática, vienen dadas por

Finalmente, el dominio de una función cuadrática siempre son los números reales, mientras que el recorrido dependerá de si tiene un mínimo o un máximo. Si es el extremo, el recorrido vendrá dado por si es un mínimo y por si es un máximo.

Camila nació el 31 de Enero de 1996 , si le preguntamos hoy su edad ,seguramente nos contestara 17 años, pero la verdad que eso no es cierto ya que su edad real será 17 años, 11 meses, 10 días, 2 horas, 7 minutos…..etc. Lo que hace Camila o la mayoría de nosotros cuando nos preguntan por nuestra edad es decir la parte entera del número. En el ámbito de las matemáticas es una función cuyo dominio son todos los números reales, pero su recorrido son los números enteros y su gráfica es la siguiente.

Pensemos en la recta real, desde el valor 0 hasta el valor 5, existen 5 unidades de distancia, lo mismo ocurre si calculamos la distancia desde 0 hasta -5, es decir, también hay 5 unidades de distancia.

Lo que acabamos de hacer es definir el valor absoluto de  como la distancia desde el cero hasta .

El dominio de la función valor absoluto son los números reales y el recorrido son los números enteros. De manera más formal

La principal característica de una función exponencial es que la variable se encuentra en el exponente.

Su forma general es

Donde  es un número real positivo distinto de 1 llamado base y  es el exponente.

La función exponencial tiene las siguientes propiedades:

Observación: Puedes verificar la veracidad de las propiedades de la función exponencial utilizando las propiedades de potencias.

El dominio de la función exponencial son todos números reales y el recorrido es .

Gráfico de una función exponencial

Podemos distinguir dos casos dependiendo el valor de la base.

La función logaritmo tiene la forma .

Donde  es un número real distinto de 1, llamado base y  es número real positivo, llamado argumento del logaritmo.

Gráfico de una función logaritmo

Podemos distinguir dos casos dependiendo el valor de la base.

Observando la gráfica obtenemos que el dominio de la función logaritmo es  y su recorrido es los números reales.

Conocida la gráfica de la función , considerando , se pueden conocer las gráficas de:

, en este caso la gráfica de  se desplazará en unidades hacia arriba.

, ahora al contrario del caso anterior la gráfica de se desplazará en  unidades hacia abajo.

, en este caso la gráfica de  se desplazará  unidades a la izquierda.

 finalmente en este caso se desplazará en  unidades a la derecha.

Graficar de 

Graficar 

Realizando algunas operaciones algebraicas, como completar cuadrados, obtenemos